Geometria Algebrica
La Geometria Algebrica si occupa dello studio delle varietà definite come luoghi di zeri di equazioni polinomiali. Si tratta di un tema che ha attraversato tutta la storia della Matematica, a partire da Descartes a Newton, con notevoli contributi da parte della Scuola italiana. Negli ultimi decenni ha avuto un impetuoso sviluppo anche grazie all'introduzione di nuove tecniche: dai metodi topologici alla teoria dei fasci, dallo studio delle varietà astratte alla teoria degli schemi.
La Geometria Algebrica è strettamente connessa con molte altre aree della matematica: l'Analisi Complessa in una o più variabili, l'Algebra Commutativa, la Topologia, la Geometria Differenziale. Questo ne fa uno dei campi di ricerca più ricchi e variegati nell'ambito della matematica contemporanea, con applicazioni che spaziano dalla Fisica Teorica alla Teoria dei Codici, alla Filogenetica, alla Computer Vision e alla Robotica.
Esami consigliati per il settore di Geometria Algebrica dell'Orientamento Geometrico:
| Primo semestre: | Varietà Complesse |
| Topologia Algebrica | |
| Geometria degli Schemi | |
| Secondo semestre: | Geometria Complessa |
| Superfici Algebriche | |
Nel curriculum suggerito, i corsi di Varietà Complesse e di Geometria Complessa vanno considerati come corsi di base che descrivono le principali proprietà delle strutture differenziabili e complesse soggiacenti alle varietà algebriche definite sul campo complesso. Entrambi i corsi richiedono una conoscenza di base (definizioni e prime proprietà) delle teorie delle varietà differenziabili reali (A) e delle funzioni di una variabile complessa (B). Gli studenti possono far riferimento al corso di Geometria 4 per l'argomento A. Per l'argomento B, gli studenti possono avvalersi del corso di Analisi Complessa o delle lezioni preliminari del tutor del corso di Varietà Complesse. I due corsi possono essere seguiti in modo indipendente. Varietà Complesse fornisce un'introduzione generale che comprende anche la teoria dei fasci, dei fibrati vettoriali e la loro coomologia. Tali nozioni sono utilizzate anche nel corso di Superifici Algebriche. Il corso di Geometria Complessa si occupa delle superfici di Riemann compatte, che sono varietà complesse di dimensione 1.
Il corso di Topologia Algebrica fornisce gli strumenti per studiarne le proprietà topologiche globali. Il corso di Superfici Algebriche ha carattere monografico, particolarmente raccomandato agli studenti che indendano proseguire lo studio della Geometria Algebrica anche nell'ambito di un dottorato. Il corso di Geometria degli Schemi fornisce un'introduzione alla teoria degli schemi ed alla coomologia di fasci definiti su di essi. Il concetto di schema è stato introdotto da Grothendieck con l'intento di fornire il formalismo necessario per affrontare alcuni problemi centrali per la Geometria Algebrica. Uno schema è una vasta generalizzazione del concetto di varietà topologica e algebrica. Gli schemi appaiono in modo naturale nello studio di problemi di moduli.
Il corso di Geometria 5 è consigliato per tutti gli studenti che intendano seguire l'orientamento geometrico. Il corso di Algebra commutativa è particolarmente indicato per gli studenti che intendano orientare i propri studi nell'ambito della geometria algebrica. Geometria differenziale offre agli studenti la possibilità di ampliare la propria cultura nell'ambito della geometria.
Molti dei corsi menzionati sopra sono parte del progetto Algant.
Docenti
Alberto Alzati,Marina Bertolini,
Chiara Camere,
Elisabetta Colombo,
Anna Gori,
Luigi Lombardi,
Diego Matessi,
Paolo Stellari,
Luca Tasin,
Bert van Geemen,
Cristina Turrini.
