Si intende presentare un'introduzione alla teoria degli integrali
singolari in R^n, all'analisi di operatori ed equazioni
differenziali su varietà differenziabili,
Riemanniane e sub-Riemanniane.
Il corso è pensato come avvio
alla ricerca, e come preparazione ad un'eventuale tesi di laurea magistrale.
- Richiami sulla trasformata di Fourier in R^n.
- Integrali singolari in R^n, in particolare le trasformate di Riesz,
e loro limitatezza L^p.
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Spazi di Sobolev. Definizione e prime proprietà. Decomposizione di Littlewood-Paley. Teoremi d'immersione.
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Gli operatori classici della fisica matematica. L'operatore di
Laplace, equazioni del calore e delle onde.
- Funzioni del Laplaciano,
moltiplicatori.
- Operatori ellittici e ipoellittici.
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Operatori subellittici. Operatori pseudodifferenziali (cenni). Il teorema di Hormander sulla somma di
quadrati.
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Il gruppo di Heisenberg e il
sub-Laplaciano. Soluzione fondamentale, semigruppo del calore.
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Estensioni della teoria a varietà Riemanniane e sub-Riemanniane.
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Bibliografia
Alcuni testi di riferimento:
- J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in
Mathematics 29, A.M.S., 2001
- F. Linares, G. Ponce, Introduction of Nonlinaear Dispersive
Equations, Second Edition, Springer University Texts, New York
2015.
- M. Peloso, Appunti del corso.
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