Categoria: didattica algebra 2 2010-2011

Sottoanelli dei razionali

Come sono fatti i sottoanelli dei razionali Q?

Sia A un tale sottoanello: visto che deve essere un sottogruppo, se x\in A allora per ogni intero n, abbiamo nx\in A. Sia x=a/b e sia b=pq, allora anche p (a/b)=a/q\in A. Quindi se a/b\in A allora anche a/p\in A dove p è un qualsiasi divisore di b.

Supponiamo di avere due sottoanelli A,B\subset Q. Siano a/b \in A e c/d \in B. Come è fatto l’insieme A+B? Per quanto visto sopra, contiene tutte le combinazioni lineari negli interi e quindi contiene tutti gli na/b+mc/d=(nad+mcb)/bd. Se MCD(ad,cb)=1, allora possiamo trovare interi tali che nad+mcb=1 e quindi ac/bd=ac(1/bd)\in A+B. Se c’è un fattore comune, diciamo p, allora ad=px e cd=py, quindi a/b=cx/dy e ac/bd=(xc^2)/(yd^2). Ma questo sta in A+B perché possiamo supporre che MCD(x,y)=1 e quindi esistono interi tali che na/b+mc/b=c/dy\in A+B, da cui c^2/d^2y^2\in A+B che implica ac/bd=(xc^2)/(yd^2)=xy( c^2/d^2y^2)\in A+B. Abbiamo quindi dimostrato (modulo un facile conto) che A+B è ancora un sottoanello dei razionali.

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