{"id":1573,"date":"2017-03-09T11:15:50","date_gmt":"2017-03-09T10:15:50","guid":{"rendered":"http:\/\/users2.unimi.it\/mazza\/?page_id=1573"},"modified":"2017-03-09T11:19:13","modified_gmt":"2017-03-09T10:19:13","slug":"algebra-4-2016-2017","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/sites.unimi.it\/mazza\/didattica\/algebra-4-2016-2017\/","title":{"rendered":"Algebra 4 2016-2017"},"content":{"rendered":"<p>Questa \u00e8 la pagina del corso del secondo semestre\u00a0<a href=\"http:\/\/www.ccdmat.unimi.it\/it\/corsiDiStudio\/2017\/F7Xof1\/default\/F7X-40\/index.html\">Algebra 4<\/a> (6 crediti) dell\u2019anno accademico 2016-2017.<\/p>\n<p>Raccoglieremo qui le informazioni riguardanti il corso.<\/p>\n<h3>Programma<\/h3>\n<p>Ecco il programma del corso:<\/p>\n<ul>\n<li>Strutture algebriche e relazionali. Esempi di soluzioni universali: rendere un anello unitario, abelianizzare un gruppo, campo dei quoziente, anello dei polinomi, anello caratteristico.<\/li>\n<li>Anelli, moduli e loro propriet\u00e0.<\/li>\n<li>Categorie e Funtori. Monoidi e preordini come categorie. Assegnare il centro di un gruppo non e&#8217; Isomorfismi tra categorie. Algebre di Boole e anelli booleani.<\/li>\n<li>Trasformazioni e isomorfismi naturali tra funtori. Esempi: doppio duale, determinante. Equivalenze tra categorie. Funtori pieni e fedeli. Aggiunzioni. Unita&#8217; e counita&#8217; di un&#8217;aggiunzione. Moduli liberi.<\/li>\n<li>Funtori rappresentabili. Lemma di Yoneda. Conseguenze di Yoneda: immersione di Yoneda, unicita&#8217; a meno di iso dei rappresentanti di funtori rappresentabili. Rappresentazione come esistenza di un elemento universale.<\/li>\n<li>Limiti e colimiti. Prodotti e Coprodotti. Relazione con particolari funtori rappresentabili. Aggiunti destri (sinistri) preservano limiti (colimiti). Biprodotti. Equalizzatori, nuclei, pullback e concetti duali.<\/li>\n<li>Sequenze esatte (corte) di A-moduli. Lemma dei 5. Sequenze esatte spezzanti: condizioni equivalenti.<\/li>\n<li>Prodotto tensore tra moduli, sua propriet\u00e0 universale come rappresentante del funtore della mappe bilineari, isomorfismi canonici per la commutativit\u00e0, associativit\u00e0, identit\u00e0. Aggiunzione tra Hom(E,-) e prodotto tensore per E.<\/li>\n<li>Proprieta&#8217; di esattezza di Hom(E,-) sulle sequenze esatte corte. Pullback e pushout di sequenze esatte corte.<\/li>\n<li>Moduli proiettivi: condizioni equivalenti. Relazione tra proiettivi e liberi. Somme dirette di proiettivi. Caratterizzazione PID come anelli i cui moduli liberi hanno sottomoduli liberi.<\/li>\n<li>Moduli di torsione e liberi da torsione. Nei PID liberi=liberi da torsione.<\/li>\n<li>Moduli divisibili. Moduli iniettivi. Criterio di Baer. In PID iniettivi=divisibili.<\/li>\n<li>Definizione di Ext(E,L). Struttura abeliana di Ext(E,L) con la somma di Baer. Sequenze spezzanti come elemento neutro. Opposto.<\/li>\n<li>Ext(E,-) come funtore additivo covariante e Ext(-,L) come funtore additivo controvariante.<\/li>\n<li>Successioni esatte lunghe Hom-Ext. Calcolo di Ext(Z_n,G).<\/li>\n<li>Proprieta&#8217; esattezza tensore. Moduli piatti. Somme dirette di piatti sono piatte. Proiettivi sono piatti.<\/li>\n<li>Limiti diretti di A-moduli: definizione e costruzione.<\/li>\n<li>Limiti diretti di piatti sono piatti. Campi di frazioni di domini sono piatti. Cenno funtore Tor.<\/li>\n<li>Catene ascendenti e discendenti. Moduli e anelli noetheriani e artiniani.<\/li>\n<li>Modulo noetheriano se e solo se ogni sottomodulo e&#8217; f.g. .<\/li>\n<li>Quozienti, sottomoduli, somme finite di noeth (art) sono noeth (art). Moduli f.g. su A noeth (art)\u00a0sono noeth (art).<\/li>\n<li>Caratterizzazione spazi vettoriali noeth (art).<\/li>\n<li>Teorema della base di Hilbert.<\/li>\n<li>Nilradicale e radicale di Jacobson. Ideali primari e irriducibili. Relazione nel caso noetheriano.<\/li>\n<li>Decomposizione primaria nel caso noetheriano.<\/li>\n<li>Teorema di Cayley-Hamilton, anelli locali. Lemma di Nakayama, il tensore su moduli su anello locale \u00e8 conservativo. Localizzazione e sua esattezza. Propriet\u00e0 locali.<\/li>\n<li>Moduli proiettivi su anello locale, esempi di proiettivi non liberi.<\/li>\n<li>Anelli che se localizzati su ogni primo diventano noetheriani, non sono necessariamente noetheriani. Locali booleani.<\/li>\n<li>Proprieta&#8217; radicali e nilradicali in noetheriani. Un anello artiniano ha un numero finito di ideali, che\u00a0sono tutti max.<\/li>\n<li>Dimensione di Krull di un anello. Artiniani hanno dim 0.<\/li>\n<li>Relazione tra moduli finitamente presentati e moduli finitamente generati. Caso Notheriano.<\/li>\n<li>Lemma di Shanuel.<\/li>\n<li>Spec(A), Estensione e contrazione di ideali (primi, massimali) lungo omomorfismi di anelli.<\/li>\n<li>Estensione e contrazione di scalari sul prodotto tensore.<\/li>\n<li>Noetherianit\u00e0 dell\u2019anello delle serie formali in una variabile. Limiti inversi di A-moduli.<\/li>\n<li>Algebre su un anello commutativo, casi non associativo, associativo e commutativo.<\/li>\n<li>Sottoalgebre, ideali, quozienti e omomorfismi di algebre. Algebre libere associative e commutative.<\/li>\n<li>Anelli e sottoanelli graduati. Moduli, sottomoduli e quozienti graduati. Caso graduato noetheriano.<\/li>\n<li>Algebra graduate. Morfismi omogenei. Componenti graduate dell&#8217;algebra tensoriale.<\/li>\n<li>Algebra tensoriale, esterna e simmetrica: definizioni e propriet\u00e0 universali. Calcolo per un modulo ciclico. Prodotto esterno di moduli liberi finitamente generati. Determinante. Dipendenza lineare e prodotto esterno.<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Lezioni<\/h3>\n<p>Gli orari delle lezioni sono:<\/p>\n<ul>\n<li><span style=\"line-height: 13px;\">mercoled\u00ec 13:30-15:30 Aula 9 (teoria)<\/span><\/li>\n<li>gioved\u00ec 13:30-15:30 Aula 8\u00a0(esercitazioni)<\/li>\n<li>venerd\u00ec 12:30-13:30 Aula 9 (teoria)<\/li>\n<\/ul>\n<h3>Esami<\/h3>\n<p>Ecco alcuni degli esami passati<\/p>\n<ul>\n<li><strong>2013\u00a0<a href=\"http:\/\/users.unimi.it\/mazza\/wp-content\/uploads\/A4-211113.pdf\">Novembre<\/a>\u00a0<a href=\"http:\/\/users.unimi.it\/mazza\/wp-content\/uploads\/A4-160713.pdf\">Luglio<\/a><\/strong><\/li>\n<li><strong>2014\u00a0<a href=\"http:\/\/users2.unimi.it\/mazza\/wp-content\/uploads\/A4-180914.pdf\">Settembre<\/a>\u00a0<a href=\"http:\/\/users2.unimi.it\/mazza\/wp-content\/uploads\/A4-190614.pdf\">Giugno<\/a><\/strong><\/li>\n<li><strong>2015\u00a0<a href=\"http:\/\/users2.unimi.it\/mazza\/wp-content\/uploads\/A4-240915.pdf\">Settembre<\/a><\/strong><\/li>\n<\/ul>\n<h3><span style=\"font-size: 1.17em;\">Riferimenti<\/span><\/h3>\n<p>Il libro che seguiremo di pi\u00f9 (ma non esclusivamente) sar\u00e0 &#8220;Introduction to Commutative Algebra&#8221; di Atiyah e Macdonald di cui ci sono poche copie in giro, ma esistono versioni e-book su <a href=\"http:\/\/books.google.it\/books?id=HOASFid4x18C\">Google<\/a>\u00a0e <a href=\"http:\/\/www.amazon.it\/Introduction-To-Commutative-Algebra-ebook\/dp\/B005Z1UT28\">Amazon<\/a>. Esiste anche una versione in italiano (con capitoli aggiuntivi) che per\u00f2 \u00e8 forse ancora pi\u00f9 difficile da reperire, visto che non si trova n\u00e9 su <a href=\"http:\/\/books.google.it\/books\/about\/Introduzione_all_algebra_commutativa.html?id=aPEUPQAACAAJ\">Google<\/a>\u00a0n\u00e9 <a href=\"http:\/\/www.amazon.it\/Introduzione-allalgebra-commutativa-M-Atiyah\/dp\/8807620162\">Amazon<\/a>.<\/p>\n<p>Un altro libro che si pu\u00f2 consultare \u00e8 &#8220;Algebraic Geometry and Commutative Algebra&#8221; di Bosch edito dalla\u00a0<a href=\"http:\/\/www.springer.com\/mathematics\/algebra\/book\/978-1-4471-4828-9\">Springer<\/a>. Per chi ha intenzione di seguire anche Algebra Commutativa sar\u00e0 utile anche per quel corso.<\/p>\n<p>[catlist name=didattica-algebra-4-2016-2017 numberposts=-1]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questa \u00e8 la pagina del corso del secondo semestre\u00a0Algebra 4 (6 crediti) dell\u2019anno accademico 2016-2017. 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