{"id":1280,"date":"2014-10-21T08:31:35","date_gmt":"2014-10-21T07:31:35","guid":{"rendered":"http:\/\/users2.unimi.it\/mazza\/?p=1280"},"modified":"2014-10-21T08:44:55","modified_gmt":"2014-10-21T07:44:55","slug":"algebra-1-16102014","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/sites.unimi.it\/mazza\/2014\/10\/21\/algebra-1-16102014\/","title":{"rendered":"Algebra 1 – 16\/10\/2014"},"content":{"rendered":"

Inverse sinistre e destre, funzioni invertibili.<\/p>\n

Definizione di immagine diretta e controimmagine come funzioni fra gli insiemi delle parti e comportamento rispetto all’unione e all’intersezione.<\/p>\n

Esercizio: Sia X un insieme finito e definiamo ARB se esiste una bigezione fra A e B, e ASB se esiste una funzione iniettiva da A a B. Dimostrare che R \u00e8 una relazione d’equivalenza e S non \u00e8 una relazione d’ordine. Sull’insieme quoziente P(X)\/R definiamo [A]T[B] se esiste una iniezione da A in B: dimostrare che \u00e8 ben definita e che \u00e8 una relazione d’ordine totale.<\/p>\n

Esercizio: Consideriamo le due funzioni \"f,g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\" definite da \"f(n)=n+1\" \u00a0e \"g(0)=0\" e \"g(n)=n-1\" per ogni \"n\geq 1\". Dimostrare che f ammette una infinit\u00e0 di inverse sinistre ma nessuna inversa destra, mentre g ammette esattamente due inverse destre ma nessuna inversa sinistra.<\/p>\n

Soluzione: Notiamo che f \u00e8 iniettiva ma non suriettiva, quindi ammette inverse sinistre ma non destre (per assurdo, se avesse una inversa destra f’ avremmo \"f \circ f'=id\" che \u00e8 bigettiva, e in particolare suriettiva, quindi f sarebbe suriettiva, assurdo). Similarmente g ammette inverse destre ma non sinistre. Ora consideriamo le funzioni definite per ogni i nei naturali \"f_i:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\" definite da \"f_i(0)=i\" e \"f_i(n)=n-1\" per \"n\geq 1\". Tutte queste funzioni sono diverse fra loro (basta controllare che succede in zero) e quindi infinite, ma sono tutte inverse sinistre di f. Ora consideriamo una inversa destra h di g, cio\u00e8 abbiamo \"(g\circ h)(n)=n\" per ogni n nei naturali. Quindi abbiamo \"g(h(n))=n\". Dalla definizione di g, se \"h(n)=0\" allora \"g(h(n))=g(0)=0=n\" quindi \"h(n)=0\" implica \"n=0\". Se invece \"h(n)\geq 1\" allora \"g(h(n))=h(n)-1=n\" e quindi \"h(n)=n+1\". Quindi esistono solo due h, visto che \"h(0)\" pu\u00f2 essere 0 oppure 1, ma \"h(n)=n+1\" per ogni \"n\geq 1\".<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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