Geometria Superiore
Anno accademico 2009-2010.
Propedeuticità consigliate:
I corsi di Varietà differenziabili e la prima parte di
Analisi complessa e di Geometria Complessa.
Programma del corso:
Nel corso vengono introdotte le varietà abeliane
(tori complessi che ammettono un'immersione in un spazio proiettivo)
e i loro spazi dei moduli.
1. Curve ellittiche e curve modulari.
Funzione "p" di Weierstrass, funzioni theta, curve cubiche piane, legge di gruppo, divisori, gruppo di Picard. Il semipiano superiore, forme modulari, forme differenziali e l'invariante j. ([S1], [S2], [Kn])
2. Tori complessi.
Forme differenziali, coomologia di de Rham e decomposizione di Hodge per tori complessi.
([D], [LB], [W])
3. Il gruppo di Picard di un toro complesso.
Fibrati in rette, fasci, il gruppo di Picard, la prima
classe di Chern, funzioni theta. ([D], [Ke], [LB], [W])
4. Varietà Abeliane.
Teorema di Riemann-Roch, teorema di Lefschetz,
teorema di Poincare. Legame con le
superfici di Riemann:
la Jacobiana, teoremi di Abel, Jacobi e Riemann. ([D], [Ke], [LB])
5. Spazi di moduli.
Strutture complesse, il semipiano di Siegel, il gruppo simplettico e il gruppo di Heisenberg, forme modulari. ([D], [Ke], [L])
Riferimenti bibligrafici:
[D] O. Debarre, Tores e variétés abéliennes complexes, Société Mathématiques de France, 1999 BdM; In inglese:
O. Debarre, Complex tori and abelian varieties, SMF/AMS texts and monographs 0011; 2005
BdM.
[Ke] G.R. Kempf, Complex Abelian Varieties and Theta Functions, Springer Verlag, 1991 BdM.
[Kn] A. W. Knapp, Elliptic curves. Mathematical Notes, 40. Princeton University Press 1992 BdM.
[LB] H. Lange, Ch. Birkenhake, Complex Abelian Varieties, Springer Verlag 1992 BdM.
[S1] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag BdM.
[S2] J. H. Silverman, Advanced topics in the arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 151. Springer-Verlag BdM.
[W] R.O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds, Springer Verlag 1980 BdM.