Varietà Complesse (6+3cfu)

Anno accademico 2024-2025.

Docenti: Prof. B. van Geemen (35 ore delle 6cfu), Prof. L. Tasin (12 ore dell 6cfu + 26 ore delle 3cfu).


Propedeuticità:
essenziali: Concetti di base di varietà differenziabili (reali) del corso "Geometria 4" e di analisi complessa (vedi per esempio le note qui, oppure le prime ore del corso "Analisi complessa").


Programma del corso, prima parte 6cfu:
Varietà differenziabili complesse: spazio tangente olomorfe; applicazioni olomorfe e loro differenziale; forme differenziali di tipo (p,q) ([Hu], [Hö], [W]).
Curve ellittiche: La funzione meromorfe "p" di Weierstrass, curve cubiche piane, legge di gruppo [S].
Fibrati vettoriali, il fibrato tangente, il fibrato canonico, il fibrato normale, divisori e fibrati in rette, formula di aggiunzione [Hu], [Hö].
Fasci e prefasci di gruppi abeliani, omomorfismi di fasci, successioni esatte di fasci, coomologia a coefficienti in un fascio di gruppi abeliani come coomologia del complesso delle sezioni globali di una risoluzione aciclica del fascio, teorema di de Rham, coomologia di Cech, il gruppo di Picard [W], [Tu], [A].

Programma del corso, seconda parte +3cfu (Tasin, vedi il sito): la prima classe di Chern, cenni di teoria di Hodge, varietà di Kaehler [A], [H], [Hö], [W].

Ricevimento: su appuntamento per email (lambertus.vangeemen@unimi.it, luca.tasin@unimi.it).

Modalità di esame: prova orale; si compone di un unico esame per l'acquisto di 6cfu (con van Geemen) oppure in due parti (`indipendenti') per i 6+3 cfu, una per ciascun parte con il relativo docente, su appuntamento per email (bisogna registrarsi per un qualsiasi appello del corso sul `SIFA' per poter registrare il voto finale).

Riferimenti bibligrafici (catalogo):
[A] D. Arapura, Algebraic geometry over the complex numbers. Springer-Verlag 2012.
[Hu] D. Huybrechts, Complex geometry, an introduction. Berlin Springer-Verlag 2005.
[Hö] A. Höring, Kähler geometry and Hodge theory (unpublished notes).
[K] A.W. Knapp, Elliptic curves, Mathematical notes 40. Princeton University Press 1993.
[L] J.L.Lee, Introduction to Complex Manifolds. American Mathematical Society 2024.
[S] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag 1986.
[Tu] L. Tu, Introduction to sheaf cohomology (arXiv:2206.07512).
[W] R.O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds. Prentice Hall 1973 (Springer-Verlag 2008).