Varietà Complesse (6+3cfu)

Anno accademico 2022-2023.

Docenti: Prof. B. van Geemen (35 ore delle 6cfu), Prof. L. Tasin (7 ore dell 6cfu + tutte le 3cfu).


Propedeuticità:
essenziali: Concetti di base di varietà differenziabili (reali) del corso "Geometria 4" e di analisi complessa (vedi per esempio le note qui, oppure le prime ore del corso "Analisi complessa").


Programma del corso, prima parte 6cfu (van Geemen):
Varietà differenziabili complesse: spazio tangente olomorfe; applicazioni olomorfe e loro differenziale; forme differenziali di tipo (p,q) ([Hu], [Hö], [W]).
Curve ellittiche: La funzione meromorfe "p" di Weierstrass, curve cubiche piane, legge di gruppo [S].
Fibrati vettoriali, il fibrato tangente, il fibrato canonico, il fibrato normale, divisori e fibrati in rette, formula di aggiunzione [Hu], [Hö].
Fasci e prefasci di gruppi abeliani, omomorfismi di fasci, successioni esatte di fasci, coomologia a coefficienti in un fascio di gruppi abeliani come coomologia del complesso delle sezioni globali di una risoluzione aciclica del fascio, teorema di de Rham [W], [Tu], [A].

Programma del corso, seconda parte +3cfu (Tasin, vedi il sito): Coomologia di Cech, il gruppo di Picard, la prima classe di Chern, cenni di teoria di Hodge, varietà di Kaehler [A], [H], [Hö], [W].

Ricevimento: su appuntamento per email (lambertus.vangeemen@unimi.it, luca.tasin@unimi.it).

Modalità di esame: prova orale; si compone di un unico esame per l'acquisto di 6cfu oppure in due parti (`indipendenti') per i 6+3 cfu, una per ciascun parte con il relativo docente, su appuntamento per email (bisogna registrarsi per un qualsiasi appello del corso sul `SIFA' per poter registrare il voto finale).

Riferimenti bibligrafici (catalogo):
[A] D. Arapura, Algebraic geometry over the complex numbers. Springer-Verlag 2012.
[Hu] D. Huybrechts, Complex geometry, an introduction. Berlin Springer-Verlag 2005.
[Hö] A. Höring, Kähler geometry and Hodge theory (unpublished notes).
[K] A.W. Knapp, Elliptic curves, Mathematical notes 40. Princeton University Press 1993.
[S] J. H. Silverman, The arithmetic of elliptic curves, Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag 1986.
[Tu] L. Tu, Introduction to sheaf cohomology (arXiv:2206.07512).
[W] R.O. Wells, Differential Analysis on Complex Manifolds. Prentice Hall 1973 (Springer-Verlag 2008).