METODI GEOMETRICI DELLA FISICA MATEMATICA

Prof. Bert van Geemen, Prof. Sergio Cacciatori


Anno accademico 2008-2009, Semestre: II.


Programma del corso: Nel presente corso verranno considerati alcuni strumenti della geometria contemporanea che trovano applicazione nella fisica matematica e nella fisica teorica. I concetti matematici, dopo essere stati introdotti e averne analizzato le principali proprietà, verranno di volta in volta inseriti in un contesto fisico, al fine di mostrarne l'applicazione concreta. In particolare si cercherà di minimizzare l'aspetto formale (nei limiti del possibile), a favore dell'intuizione e con lo scopo di rendere rapidamente operativi gli strumenti matematici introdotti. Parte del corso sarà tenuto dal dott. S. Cacciatori (Univ. dell'Insubria).
Gli argomenti trattati saranno:
Tensori come oggetti intrinseci.
Breve introduzione alle varietà differenziabili.
Richiami sui concetti di gruppi e algebre di Lie.
Cenni sulla classificazione delle algebre di Lie semisemplici, diagrammi di Dynkin e sistemi di radici.
Utilizzo dei diagrammi di Dynkin per la costruzione delle rappresentazioni irriducibili.
Costruzione delle rappresentazioni di su(2) ed su(3).
Connessioni lineari, connessione di Levi-Civita e connessione di spin; torsione e curvatura.
Teoria di Gauge e connessioni su fibrati principali.
Fibrati principali; connessioni sui fibrati principali.
Trasformazioni di gauge, le equazioni di Yang-Mills e di Maxwell.
Esempi di fibrati non banali in teorie di Yang-Mills.
Il modello standard e algebre di Lie.
Applicazione al modello standard e ad un modello di grande unificazione.

Riferimenti bibligraficiprincipali :
Note.pdf.
B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, Modern geometry-methods and applications. Part I, II,III, GTM 93, 104, 124, Springer.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, 1991, GTM 129, Springer.
B.C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2003, GTM 222, Springer, (eprint math-ph/0005032).
S. Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of differential geometry, Vol. I,II, 1969, John Wiley & Sons, Inc..
Walter Thirring, Classical mathematical physics: Dynamical systems and field theories, 1997, Springer.