Come sono fatti i sottoanelli dei razionali ?
Sia un tale sottoanello: visto che deve essere un sottogruppo, se
allora per ogni intero
, abbiamo
. Sia
e sia
, allora anche
. Quindi se
allora anche
dove
è un qualsiasi divisore di
.
Supponiamo di avere due sottoanelli . Siano
e
. Come è fatto l’insieme
? Per quanto visto sopra, contiene tutte le combinazioni lineari negli interi e quindi contiene tutti gli
. Se
, allora possiamo trovare interi tali che
e quindi
. Se c’è un fattore comune, diciamo
, allora
e
, quindi
e
. Ma questo sta in
perché possiamo supporre che
e quindi esistono interi tali che
, da cui
che implica
. Abbiamo quindi dimostrato (modulo un facile conto) che
è ancora un sottoanello dei razionali.
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