Sottoanelli dei razionali

Come sono fatti i sottoanelli dei razionali $Q$ ?

Sia $A$ un tale sottoanello: visto che deve essere un sottogruppo, se $x\in A$ allora per ogni intero $n$ , abbiamo $nx\in A$ . Sia $x=a/b$ e sia $b=pq$ , allora anche $p (a/b)=a/q\in A$ . Quindi se $a/b\in A$ allora anche $a/p\in A$ dove $p$ è un qualsiasi divisore di $b$ .

Supponiamo di avere due sottoanelli $A,B\subset Q$ . Siano $a/b \in A$ e $c/d \in B$ . Come è fatto l’insieme $A+B$ ? Per quanto visto sopra, contiene tutte le combinazioni lineari negli interi e quindi contiene tutti gli $na/b+mc/d=(nad+mcb)/bd$ . Se $MCD(ad,cb)=1$ , allora possiamo trovare interi tali che $nad+mcb=1$ e quindi $ac/bd=ac(1/bd)\in A+B$ . Se c’è un fattore comune, diciamo $p$ , allora $ad=px$ e $cd=py$ , quindi $a/b=cx/dy$ e $ac/bd=(xc^2)/(yd^2)$ . Ma questo sta in $A+B$ perché possiamo supporre che $MCD(x,y)=1$ e quindi esistono interi tali che $na/b+mc/b=c/dy\in A+B$ , da cui $c^2/d^2y^2\in A+B$ che implica $ac/bd=(xc^2)/(yd^2)=xy( c^2/d^2y^2)\in A+B$ . Abbiamo quindi dimostrato (modulo un facile conto) che $A+B$ è ancora un sottoanello dei razionali.

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