Esercizio prima lezione

Dimostriamo che per ogni terna di insiemi A,B,C abbiamo:

$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap C \iff A\subseteq C$ .

Useremo frequentemente che se $x\in A$ allora $x\in A\cup B$ qualsiasi sia B. Dimostriamo le due implicazioni separatamente:

$\Rightarrow$ dimostriamo per assurdo, cioè dimostriamo che se $A\not\subseteq C$ allora $A\cup (B\cap C)\not=(A\cup B)\cap C$ . Sia $a\in A$ ma $a\notin C$ . Allora $a\in A\cup (B\cap C)$ ma non sta in $(A\cup B)\cap C$ perché non sta in C.
Sia quindi e dimostriamo , quindi dobbiamo dimostrare le due inclusioni
- $\subseteq$ sia $x\in A\cup(B\cap C)$ , quindi $x\in A$ oppure $x\in B\cap C$ . Nel primo caso $x\in A$ e quindi $x\in A\cup B$ e per ipotesi $A\subseteq C$ e quindi $x\in (A\cup B)\cap C$ ; nel secondo caso $x\in B\cap C$ quindi $x\in B$ e $x\in A\cup B$ e sta già in C quindi $x\in (A\cup B)\cap C$ .
- $\supseteq$ sia $x\in (A\cup B)\cap C$ , allora $x\in C$ e forse $x\in A$ oppure $x\in B$ . Se $x\in A$ , allora sicuramente $x\in A\cup (B\cap C)$ ; ma se $x\in B$ e quindi $x\in B\cap C$ e quindi in $A\cup (B\cap C)$ .

Una delle inclusioni vale incondizionatamente? Commenti? Correzioni? Chiarimenti?

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