Per quali d l’anello Z[√d] è UFD, PID, ED?

Per quali interi $d$ l’anello $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$ è UFD, PID, ED (dominio euclideo)?

Per $d$ negativo, la situazione è chiara: se $d\leq -3$ senza quadrati non sono UFD (e quindi neanche PID e ED). Se $d$ contiene un quadrato è un sottoanello proprio di uno degli altri, e quindi non può essere UFD perché non è integralmente chiuso. L’anello $\mathbb{Z}[\sqrt{-1}] = \mathbb{Z}[i]$ sono gli interi di Eulero che sono un ED e si può dimostrare che anche $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ è un ED, usando la norma indotta dai complessi $N(a+b\sqrt{-2})=a^2+2b^2$ (per esempio qui).

La situazione per $d\geq 1$ è molto più complicata. Un buon riferimento è qui. Il problema principale è che alcuni di questi anelli potrebbero essere ED per una norma diversa da $N(a+b\sqrt{d})=a^2-db^2$ , il che succede per esempio quando $d=14$ .

Sorge spontanea la domanda corrispondente per gli anelli degli interi di $\mathbb{Q}[\sqrt{d}]$ , che per $d=2,3$ mod 4, sempre privo di quadrati, sono esattamente gli anelli di sopra, ma per $d=1$ mod 4 sono gli anelli $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{d}}{2}]$ . Ora anche per qualche d negativo questi nuovi anelli sono PID (vedi qui e in questi casi UFD implica PID) e anche ED (vedi qui e nei casi negativi si può dimostrare che ED implica norm-ED mentre per i positivi non è detto e infatti 14 non compare).

Da sopra, si vede come $\mathbb{Z}[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}]$ sia un PID ma non ED, e ci sono varie dimostrazioni elementari, vedi qui o qui.