Esercizi per Algebra 4

I seguenti esercizi sono da consegnare alla lezione di venerdì 17 maggio.

Sia k campo e consideriamo il modulo libero $M= k\oplus k$ con base $e_1$ e $e_2$ . Dimostrare che nel modulo $N=M\otimes M$ l’elemento $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$ non è un tensore elementare, cioè non si scrive come $m\otimes n$ .
Sia M modulo (EDIT: su un dominio) e S sistema moltiplicativamente chiuso, e $T(M)$ il sottomoulo di torsione. Dimostrare che $T(S^{-1} M)\cong S^{-1} (T(M))$ e concludere che M è senza torsione se e solo se le localizzazioni su primi (o massimali) lo sono.
Dimostrare che $\mathbb{Z}_3$ è la localizzazione di $\mathbb{Z}_6$ in $S=\{1,2,4\}$ che è anche isomorfo all’anello che si ottiene invertendo formalmente 2, cioè $\mathbb{Z}_6[x]/(1-2x)$ .