Algebra 1 – 9/10/2014

Relazioni d’ordine, massimo, minimo, elementi massimali, minimali, inf e sup.

Esercizio: Sia A l’insieme delle funzioni dai naturali ai naturali. Per ciascuna delle seguenti relazioni dire quali sono di ordine, e, in caso affermativo, se sono totali o no.

$R=\{(f,g)\in A\times A: f(i)\leq g(i) \forall i\in \mathbb{N}\}$
$S=\{(f,g)\in A\times A: f(0)\geq g(0)\}$
$T=\{(f,g)\in A\times A: f=g \text{ oppure } \exists k:f(i)\geq g(i) \forall i\geq k\}$
$U=\{(f,g)\in A\times A: f(0)< g(0)\}$

Esercizio: Sia $A=\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}$ e consideriamo la relazione R definita da (a,b)R(c,d) se a è minore o uguale a c e b divide d. Dimostrare che R è una relazione d’ordine, determinare elementi massimali, minimali, massimo, minimo e dire se R è un reticolo.