Algebra 1 – 16/10/2014

Inverse sinistre e destre, funzioni invertibili.

Definizione di immagine diretta e controimmagine come funzioni fra gli insiemi delle parti e comportamento rispetto all’unione e all’intersezione.

Esercizio: Sia X un insieme finito e definiamo ARB se esiste una bigezione fra A e B, e ASB se esiste una funzione iniettiva da A a B. Dimostrare che R è una relazione d’equivalenza e S non è una relazione d’ordine. Sull’insieme quoziente P(X)/R definiamo [A]T[B] se esiste una iniezione da A in B: dimostrare che è ben definita e che è una relazione d’ordine totale.

Esercizio: Consideriamo le due funzioni $f,g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definite da $f(n)=n+1$ e $g(0)=0$ e $g(n)=n-1$ per ogni $n\geq 1$ . Dimostrare che f ammette una infinità di inverse sinistre ma nessuna inversa destra, mentre g ammette esattamente due inverse destre ma nessuna inversa sinistra.

Soluzione: Notiamo che f è iniettiva ma non suriettiva, quindi ammette inverse sinistre ma non destre (per assurdo, se avesse una inversa destra f’ avremmo $f \circ f'=id$ che è bigettiva, e in particolare suriettiva, quindi f sarebbe suriettiva, assurdo). Similarmente g ammette inverse destre ma non sinistre. Ora consideriamo le funzioni definite per ogni i nei naturali $f_i:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definite da $f_i(0)=i$ e $f_i(n)=n-1$ per $n\geq 1$ . Tutte queste funzioni sono diverse fra loro (basta controllare che succede in zero) e quindi infinite, ma sono tutte inverse sinistre di f. Ora consideriamo una inversa destra h di g, cioè abbiamo $(g\circ h)(n)=n$ per ogni n nei naturali. Quindi abbiamo $g(h(n))=n$ . Dalla definizione di g, se $h(n)=0$ allora $g(h(n))=g(0)=0=n$ quindi $h(n)=0$ implica $n=0$ . Se invece $h(n)\geq 1$ allora $g(h(n))=h(n)-1=n$ e quindi $h(n)=n+1$ . Quindi esistono solo due h, visto che $h(0)$ può essere 0 oppure 1, ma $h(n)=n+1$ per ogni $n\geq 1$ .