Algebra 1 – 27/10/2014

Definizione della somma dei numeri naturali e prime proprietà. Costruzione degli interi e dei razionali e operazioni su di essi.

Pubblico qui una dimostrazione della commutatività suggerita dagli studenti Marco Vergani e Federico Trinca.

Per ogni m naturale definiamo (per ricorsione) la somma: $m+0:=m\quad m+\sigma(n):=\sigma(m+n)$ . Vogliamo dimostrare la commutatività per induzione su n.

$n=0$ abbiamo $m+0=m$ e dimostriamo $0+m=m$ per induzione su m: per m=0 ok, $m\Rightarrow \sigma(m)$ abbiamo $0+\sigma(m)=\sigma(0+m)=\sigma(m)$ .

$n\Rightarrow \sigma(n)$ per ipotesi induttiva abbiamo $m+n=n+m$ e dobbiamo dimostrare che $m+\sigma(n)=\sigma(n)+m$ . Per definizione $m+\sigma(n)=\sigma(m+n)=\sigma(n+m)$ e dimostriamo che anche $\sigma(n+m)=\sigma(n)+m$ per induzione su m. Per m=0 ok, supponiamo vero per m e dimostriamo $\sigma(n+\sigma(m))=\sigma(\sigma(n+m))=\sigma(\sigma(n)+m)=\sigma(n)+\sigma(m)$ .