Algebra 4 2015-2016

Questa è la pagina del corso del secondo semestre Algebra 4 (6 crediti) dell’anno accademico 2015-2016.

Raccoglieremo qui le informazioni riguardanti il corso.

Programma

Ecco il programma del corso:

  • Strutture algebriche e relazionali. Esempi di soluzioni universali: rendere un anello unitario, abelianizzare un gruppo, campo dei quoziente, anello dei polinomi, anello caratteristico.
  • Anelli, moduli e loro proprietà.
  • Categorie e Funtori. Monoidi e preordini come categorie. Assegnare il centro di un gruppo non e’ Isomorfismi tra categorie. Algebre di Boole e anelli booleani.
  • Trasformazioni e isomorfismi naturali tra funtori. Esempi: doppio duale, determinante. Equivalenze tra categorie. Funtori pieni e fedeli. Aggiunzioni. Unita’ e counita’ di un’aggiunzione. Moduli liberi.
  • Funtori rappresentabili. Lemma di Yoneda. Conseguenze di Yoneda: immersione di Yoneda, unicita’ a meno di iso dei rappresentanti di funtori rappresentabili. Rappresentazione come esistenza di un elemento universale.
  • Limiti e colimiti. Prodotti e Coprodotti. Relazione con particolari funtori rappresentabili. Aggiunti destri (sinistri) preservano limiti (colimiti). Biprodotti. Equalizzatori, nuclei, pullback e concetti duali.
  • Sequenze esatte (corte) di A-moduli. Lemma dei 5. Sequenze esatte spezzanti: condizioni equivalenti.
  • Prodotto tensore tra moduli, sua proprietà universale come rappresentante del funtore della mappe bilineari, isomorfismi canonici per la commutatività, associatività, identità. Aggiunzione tra Hom(E,-) e prodotto tensore per E.
  • Proprieta’ di esattezza di Hom(E,-) sulle sequenze esatte corte. Pullback e pushout di sequenze esatte corte.
  • Moduli proiettivi: condizioni equivalenti. Relazione tra proiettivi e liberi. Somme dirette di proiettivi. Caratterizzazione PID come anelli i cui moduli liberi hanno sottomoduli liberi.
  • Moduli di torsione e liberi da torsione. Nei PID liberi=liberi da torsione.
  • Moduli divisibili. Moduli iniettivi. Criterio di Baer. In PID iniettivi=divisibili.
  • Definizione di Ext(E,L). Struttura abeliana di Ext(E,L) con la somma di Baer. Sequenze spezzanti come elemento neutro. Opposto.
  • Ext(E,-) come funtore additivo covariante e Ext(-,L) come funtore additivo controvariante.
  • Successioni esatte lunghe Hom-Ext. Calcolo di Ext(Z_n,G).
  • Proprieta’ esattezza tensore. Moduli piatti. Somme dirette di piatti sono piatte. Proiettivi sono piatti.
  • Limiti diretti di A-moduli: definizione e costruzione.
  • Limiti diretti di piatti sono piatti. Campi di frazioni di domini sono piatti. Cenno funtore Tor.
  • Catene ascendenti e discendenti. Moduli e anelli noetheriani e artiniani.
  • Modulo noetheriano se e solo se ogni sottomodulo e’ f.g. .
  • Quozienti, sottomoduli, somme finite di noeth (art) sono noeth (art). Moduli f.g. su A noeth (art) sono noeth (art).
  • Caratterizzazione spazi vettoriali noeth (art).
  • Teorema della base di Hilbert.
  • Nilradicale e radicale di Jacobson. Ideali primari e irriducibili. Relazione nel caso noetheriano.
  • Decomposizione primaria nel caso noetheriano.
  • Teorema di Cayley-Hamilton, anelli locali. Lemma di Nakayama, il tensore su moduli su anello locale è conservativo. Localizzazione e sua esattezza. Proprietà locali.
  • Moduli proiettivi su anello locale, esempi di proiettivi non liberi.
  • Anelli che se localizzati su ogni primo diventano noetheriani, non sono necessariamente noetheriani. Locali booleani.
  • Proprieta’ radicali e nilradicali in noetheriani. Un anello artiniano ha un numero finito di ideali, che sono tutti max.
  • Dimensione di Krull di un anello. Artiniani hanno dim 0.
  • Relazione tra moduli finitamente presentati e moduli finitamente generati. Caso Notheriano.
  • Lemma di Shanuel.
  • Spec(A), Estensione e contrazione di ideali (primi, massimali) lungo omomorfismi di anelli.
  • Estensione e contrazione di scalari sul prodotto tensore.
  • Noetherianità dell’anello delle serie formali in una variabile. Limiti inversi di A-moduli.
  • Algebre su un anello commutativo, casi non associativo, associativo e commutativo.
  • Sottoalgebre, ideali, quozienti e omomorfismi di algebre. Algebre libere associative e commutative.
  • Anelli e sottoanelli graduati. Moduli, sottomoduli e quozienti graduati. Caso graduato noetheriano.
  • Algebra graduate. Morfismi omogenei. Componenti graduate dell’algebra tensoriale.
  • Algebra tensoriale, esterna e simmetrica: definizioni e proprietà universali. Calcolo per un modulo ciclico. Prodotto esterno di moduli liberi finitamente generati. Determinante. Dipendenza lineare e prodotto esterno.

Lezioni

Gli orari delle lezioni sono:

  • mercoledì 13:30-15:30 Aula 9 (teoria)
  • giovedì 13:30-15:30 Aula 8 (esercitazioni)
  • venerdì 9:30-10:30 Aula 9 (teoria)

Esami

Ecco alcuni degli esami passati

Riferimenti

Il libro che seguiremo di più (ma non esclusivamente) sarà “Introduction to Commutative Algebra” di Atiyah e Macdonald di cui ci sono poche copie in giro, ma esistono versioni e-book su Google e Amazon. Esiste anche una versione in italiano (con capitoli aggiuntivi) che però è forse ancora più difficile da reperire, visto che non si trova né su Google né Amazon.

Un altro libro che si può consultare è “Algebraic Geometry and Commutative Algebra” di Bosch edito dalla Springer. Per chi ha intenzione di seguire anche Algebra Commutativa sarà utile anche per quel corso.

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