Algebra 1 2012-2013

Lezioni

Le lezioni (teoria ed esercizi) saranno lunedì 8:30-10:30, martedì 15:30-17:30, mercoledì 9:30-11:30 e giovedì 13:30-15:30. La divisione fra teoria ed esercitazioni varierà durante l’anno.

Prima lezione (da confermare): mercoledì 3 ottobre 9:30-11:30.

Esami

Esami passati:

• 2013 Luglio Giugno Maggio Febbraio Gennaio
• 2012 Dicembre (secondo compitino) Novembre (primo compitino) Settembre Luglio Giugno Aprile Febbraio Gennaio
• 2011 Dicembre Novembre (compitino) Novembre (pre-compitino) Giugno Maggio Febbraio Gennaio

Date (da confermare sempre sul SIFA):

• I Esonero: 21 Novembre 2012 Aula 8 + Chisini ore 9.30
• II Esonero: 19 Dicembre 2012 Aula 8 + Chisini ore 9.30
• I Sessione
  • I Appello: 30 Gennaio 2013 Aula 8 + Chisini ore 9.30
  • II Appello: 20 Febbraio 2013 Aula 8 + Chisini ore 9.30
• II Sessione
  • III Appello: 18 Aprile 2013 Aula 8 + Chisini ore 9.30
  • IV Appello: 12 Giugno 2013 Aula Chisini ore 9.30
• III Sessione
  • V Appello –  17 Luglio 2013 Aula Chisini ore 9.30
  • VI Appello – 18 Settembre Aula Chisini ore 9.30

Ricevimento

Mercoledì 15:30-17:30 o su appuntamento via email (ufficio 2050, sottotetto)

Prerequisiti e Obiettivi

• Prerequisiti Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore.
• Obiettivi Fornire il linguaggio di base dell’algebra. Introduzione alle strutture algebriche astratte mediante lo studio dell’algebra degli interi, dei polinomi in una variabile e dei loro quozienti. Elementi di teoria dei moduli.

Programma

• Teoria degli insiemi [9 ore = 1 credito]
  • Insiemi. Relazioni tra insiemi. Applicazioni surgettive, iniettive e bigettive. Teorema di Cantor. [3]
  • Naturali, assiomi di Peano e induzione. Insiemi finiti e insiemi infiniti (secondo Cantor e Dedekind). [2]
  • Relazioni di equivalenza, partizioni e insiemi quozienti. Insiemi equipotenti. Insiemi numerabili e cardinalità. [2]
  • Relazioni d’ordine e buon ordinamento. Assioma della scelta. Reticoli. [2]
• Aritmetica [9 ore = 1 credito]
  • Costruzione degli interi e dei razionali. Numeri primi. Divisione euclidea. [2]
  • Algoritmo euclideo e le sue applicazioni. Fattorizzazione unica in prodotto di numeri primi. [2]
  • Congruenze. Algebra modulare ed equazioni diofantee. [2]
  • Teorema cinese del resto. Sistemi di numerazione. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero. [3]
• Strutture algebriche [27 ore = 3 crediti]
  • Operazioni binarie e loro proprietà: campi, anelli, gruppi, semigruppi e monoidi. [2]
  • Anelli, sottoanelli e ideali. Omomorfismi, anelli quozienti e nuclei. Polinomi. [3]
  • Zero-divisori, invertibili e nilpotenti. Irriducibilità e fattorizzazione unica. Anelli fattoriali (UFD) e principali (PID). [4]
  • Sottoanelli del campo complesso e interi di Gauss. Anelli euclidei. [3]
  • Polinomi a coefficienti interi e Lemma di Gauss. [3]
  • Teoria dei moduli: basi, moduli finitamente generati e liberi. [4]
  • Decomposizione di un modulo su un anello euclideo. [3] Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. [3]
  • Spazi vettoriali su un campo K pensati come K[x]-moduli mediante un endomorfismo. [2]

Testo

Sono disponibili le Note di Algebra al corso ma, ad esempio, il seguente testo copre ampiamente gli argomenti trattati e può esser considerato un buon riferimento:

• Dikran Dikranjan-M. Silvia Lucido: Aritmetica e Algebra ed. Liguori, 2007

Struttura delle prove intermedie e dell’esame

• I & II Esonero Si tratta di prove scritte (teoria e esercizi) sugli argomenti del corso trattati fino alla sospensione delle lezioni. La prova di valutazione del I Esonero ha voto sufficiente o insufficiente e non fa media. Per sostenere la prova di valutazione del II Esonero bisogna aver superato la prova di valutazione del I Esonero. Il superamento di entrambe le prove intermedie, ovvero del I & II Esonero, consente l’esonero dalle prove scritte per il I & II Appello, ovvero per la I Sessione.
• I & II Appello Il superamento di entrambe le prove intermedie consente l’esonero dallo scritto d’esame. Inoltre, il superamento dello scritto del I Appello consente l’esonero dallo scritto del II Appello. Il voto finale si calcola facendo la media tra il voto dell’ultimo scritto e dell’orale.
• III & IV Appello Per queste prove di valutazione non è più valido il voto degli scritti precedenti. Il superamento dello scritto del III Appello consente comunque l’esonero dallo scritto del IV Appello. Il voto finale si calcola facendo la media tra il voto dell’ultimo scritto e dell’orale.
• V & VI Appello Sono intesi come esami di recupero indipendenti e ciascun appello consiste di una sintetica prova scritta e un approfondito esame orale.

L’esame consiste in una prova scritta e un orale. La prova scritta – sia per le prove intermedie che per l’esame – è svolta su un foglio prestampato. Il testo è composto da alcune domande di carattere generale relative ai temi trattati nel corso e da alcuni esercizi. Il colloquio orale è svolto a discrezione del docente su alcuni argomenti tra tutti quelli trattati nelle lezioni e nelle esercitazioni. Il voto dello scritto si calcola sommando i voti dei singoli quesiti. Il voto finale si calcola facendo la media tra il voto dello scritto e il voto dell’orale.

Regole per le prove scritte
1) Per accedere alle prove è necessario prenotarsi e bisogna presentarsi il giorno dell’esame con un documento di riconoscimento.

2) All’inizio della prova si deve scrivere Nome, Cognome e Matricola sui fogli distribuiti dal docente e tenere a disposizione, sul banco, il documento di riconoscimento. Non è consentito uscire per nessun motivo durante le prove scritte. La consegna anticipata o il ritiro senza consegna saranno parimenti contati come tentata esecuzione della prova.

3) Non è consentito consultare testi, dispense, appunti o note su fogli di carta per la compilazione dello scritto e comunque per l’intera prova. Non è consentito l’utilizzo di strumenti elettronici di calcolo, trasmissione dati o di video-telefoni portatili di qualsiasi genere.

4) Non è consentito, agli esaminandi,  parlare o comunicare in qualunque modo pena l’esclusione dalla prova. Si possono chiedere eventuali delucidazioni sul testo di esame solo al docente, alzando la mano e restando al posto assegnato all’inizio della prova.

5) Si dovranno riconsegnare solo i fogli prestampati distribuiti dal docente, compilati utilizzando gli appositi spazi: non saranno tenute in considerazione brutte o foglietti supplementari. Gli spazi sono adeguati alla lunghezza delle risposte, per chi abbia una grafia di grandezza media.

6) Le risposte vanno giustificate brevemente, ma esaurientemente. Ad esempio, un’affermazione del tipo “ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi” va giustificata. Le soluzioni di un’equazione di secondo grado non vanno giustificate, ma la molteplicità di una radice si.

7) La durata complessiva delle prove sarà di 1 ora e trenta minuti. Allo scadere del termine di tempo complessivo ci saranno tre minuti di tempo per la consegna. Non si accetta per nessun motivo il compito di chi consegna in ritardo, ovvero dopo i tre minuti.

8 ) Gli scritti d’esame valutati con voto insufficiente saranno conservati anche in riferimento agli appelli successivi. In tutti i casi, per superare l’esame, occorre comunque sostenere un colloquio orale.

Colloquio e discussione dell’elaborato scritto
Il docente sarà sempre a disposizione per chiarimenti e per una breve discussione dello scritto. L’orale è volto ad accertare il grado di approfondimento, comprensione e conoscenza degli argomenti trattati nel corso. Il voto dell’orale dipende dunque dalla padronanza delle materie trattate nel corso mostrata dallo studente durante il colloquio. Il voto finale sarà ottenuto dalla media tra il voto dell’ultimo scritto e quello del colloquio orale.