Categoria: didattica algebra 1 2014-2015

Esercizi su anelli di polinomi.

Se A è un dominio, U(A[x])=U(A) e ZD(A[x]) è vuoto.

Condizione necessaria affinché un numero razionale sia radice di un polinomio a coefficienti interi.

Consideriamo il polinomio f(x)=x^3+ax^2+1 in Q[x] dove a è un intero. Dire per quali a è irriducibile e trovare una decomposizione in irriducibili negli altri casi.

Consideriamo il polinomio f(x)=x^4+ax^3+1 in Z_2[x] dove a è in Z_2. Dire per quali a è irriducibile e trovare una decomposizione in irriducibili negli altri casi.

Esercizi su anelli ed ideali.

In Z_n ogni elemento diverso da zero è invertibile o zero-divisore. In particolare, se (x,n)=1 è invertibile, altrimenti zero-divisore, e se ogni primo p che divide n divide anche x, allora x è nilpotente.

L’insieme degli elementi nilpotenti è un ideale.

Consideriamo . Dimostrare che è un anello commutativo unitario e determinare la caratteristica. Identificare i divisori dello zero. Consideriamo la mappa che manda X in X\Y per un fissato Y, dimostrare che è omomorfismo di anelli e identificare kernel e immagine. Descrivere l’ideale generato da un elemento Y. Dimostrare che se S è finito, allora tutti gli ideali sono principali.