Categoria: didattica algebra 1 2014-2015

Algebra 1 – 28/10/2014

Esercizi su insiemi infiniti e numerabili.

Esercizio: Le seguenti affermazioni sono equivalenti per un insieme A infinito : 1) A è numerabile 2) c’e una funzione suriettiva dai naturali ad A 3) c’è una funzione iniettiva da A ai naturali.

Esercizio: Sia \{A_i:i\in \mathbb{N} \} una famiglia di insiemi numerabili. Dimostrare che per ogni k naturale A_0\times A_1\times \ldots \times A_k è numerabile e che l’unione disgiunta \sum_i A_i è ancora numerabile. In particolare, l’insieme dei numeri interi e razionali sono numerabili.

Esercizio: Dimostrare che [-1,1]\subseteq \mathbb{R} è in bigezione con \mathbb{R}.

Algebra 1 – 27/10/2014

Definizione della somma dei numeri naturali e prime proprietà. Costruzione degli interi e dei razionali e operazioni su di essi.

Pubblico qui una dimostrazione della commutatività suggerita dagli studenti Marco Vergani e Federico Trinca.

Per ogni m naturale definiamo (per ricorsione) la somma: m+0:=m\quad m+\sigma(n):=\sigma(m+n). Vogliamo dimostrare la commutatività per induzione su n.

n=0 abbiamo m+0=m e dimostriamo 0+m=m per induzione su m: per m=0 ok, m\Rightarrow \sigma(m) abbiamo 0+\sigma(m)=\sigma(0+m)=\sigma(m).

n\Rightarrow \sigma(n) per ipotesi induttiva abbiamo m+n=n+m e dobbiamo dimostrare che m+\sigma(n)=\sigma(n)+m. Per definizione m+\sigma(n)=\sigma(m+n)=\sigma(n+m) e dimostriamo che anche \sigma(n+m)=\sigma(n)+m per induzione su m. Per m=0 ok, supponiamo vero per m e dimostriamo \sigma(n+\sigma(m))=\sigma(\sigma(n+m))=\sigma(\sigma(n)+m)=\sigma(n)+\sigma(m).

 

Algebra 1 – Prossime lezioni

C’è un cambio nelle lezioni della settimana prossima: lunedì e mercoledì farò lezione al posto della Prof.ssa Bianchi, quindi nelle solite aule e orari (lunedì 10:30-12:30 e mercoledì 8:30-10:30 aula 8), mentre martedì e giovedì faremo lezione a sessioni riunite (quindi A-L e M-Z nella stessa aula) in Aula Chisini martedì 15:30-17:30 e giovedì 15:05-16:35. Se qualcuno degli studenti M-Z sta seguendo i corsi di inglese della ex-facoltà, è pregato di contattarmi via email a carlo.mazza@unimi.it