didattica algebra 1 2014-2015 – Pagina 7

Algebra 1 – 21/10/2014

Assiomi di Peano e principio di ricorsione per sistemi di Peano.

Algebra 1 – 16/10/2014

Inverse sinistre e destre, funzioni invertibili.

Definizione di immagine diretta e controimmagine come funzioni fra gli insiemi delle parti e comportamento rispetto all’unione e all’intersezione.

Esercizio: Sia X un insieme finito e definiamo ARB se esiste una bigezione fra A e B, e ASB se esiste una funzione iniettiva da A a B. Dimostrare che R è una relazione d’equivalenza e S non è una relazione d’ordine. Sull’insieme quoziente P(X)/R definiamo [A]T[B] se esiste una iniezione da A in B: dimostrare che è ben definita e che è una relazione d’ordine totale.

Esercizio: Consideriamo le due funzioni $f,g:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definite da $f(n)=n+1$ e $g(0)=0$ e $g(n)=n-1$ per ogni $n\geq 1$ . Dimostrare che f ammette una infinità di inverse sinistre ma nessuna inversa destra, mentre g ammette esattamente due inverse destre ma nessuna inversa sinistra.

Soluzione: Notiamo che f è iniettiva ma non suriettiva, quindi ammette inverse sinistre ma non destre (per assurdo, se avesse una inversa destra f’ avremmo $f \circ f'=id$ che è bigettiva, e in particolare suriettiva, quindi f sarebbe suriettiva, assurdo). Similarmente g ammette inverse destre ma non sinistre. Ora consideriamo le funzioni definite per ogni i nei naturali $f_i:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definite da $f_i(0)=i$ e $f_i(n)=n-1$ per $n\geq 1$ . Tutte queste funzioni sono diverse fra loro (basta controllare che succede in zero) e quindi infinite, ma sono tutte inverse sinistre di f. Ora consideriamo una inversa destra h di g, cioè abbiamo $(g\circ h)(n)=n$ per ogni n nei naturali. Quindi abbiamo $g(h(n))=n$ . Dalla definizione di g, se $h(n)=0$ allora $g(h(n))=g(0)=0=n$ quindi $h(n)=0$ implica $n=0$ . Se invece $h(n)\geq 1$ allora $g(h(n))=h(n)-1=n$ e quindi $h(n)=n+1$ . Quindi esistono solo due h, visto che $h(0)$ può essere 0 oppure 1, ma $h(n)=n+1$ per ogni $n\geq 1$ .

Algebra 1 – 14/10/2014

Funzioni iniettive, suriettive, bigettive e invertibili.

Esercizio: Consideriamo un insieme X e le funzioni $P(X)\rightarrow P(X)$ definite da $f_B:A\mapsto A\cap B$ , $g_B:A\mapsto A\cup B$ , $h_B:A\mapsto A\Delta B$ . Iniettività, suriettività? Consideriamo $f:P(X)\rightarrow {P(X)}^{P(X)}$ definita da $A\mapsto f_A$ . Iniettività o suriettività? Per g e h?

Algebra 1 – 9/10/2014

Relazioni d’ordine, massimo, minimo, elementi massimali, minimali, inf e sup.

Esercizio: Sia A l’insieme delle funzioni dai naturali ai naturali. Per ciascuna delle seguenti relazioni dire quali sono di ordine, e, in caso affermativo, se sono totali o no.

$R=\{(f,g)\in A\times A: f(i)\leq g(i) \forall i\in \mathbb{N}\}$
$S=\{(f,g)\in A\times A: f(0)\geq g(0)\}$
$T=\{(f,g)\in A\times A: f=g \text{ oppure } \exists k:f(i)\geq g(i) \forall i\geq k\}$
$U=\{(f,g)\in A\times A: f(0)< g(0)\}$

Esercizio: Sia $A=\{1,2,3\}\times \{1,2,3\}$ e consideriamo la relazione R definita da (a,b)R(c,d) se a è minore o uguale a c e b divide d. Dimostrare che R è una relazione d’ordine, determinare elementi massimali, minimali, massimo, minimo e dire se R è un reticolo.

Algebra 1 – 7/10/2014

Relazioni di equivalenza, rappresentazione tabulare e con grafo.

Esercizio: Consideriamo la relazione sui reali definita da $x\rho y$ se $x^2-y^2=x-y$ . Dimostrare che è una relazione di equivalenza e calcolare le classi di equivalenza.

Esercizio: Sia T l’insieme delle parti di {0,1} e sia X=TxT. Su X consideriamo la relazione $(A,B)R(C,D)$ se $A\cup B=C\cup D$ . Dimostrare che è una relazione di equivalenza e calcolare le classi di equivalenza. Consideriamo anche $(A,B)S(C,D)$ se $A\cap B=C\cap D$ e $(A,B) V (C,D)$ se $A\cap B\subset C\cap D$ ; dire se sono relazioni d’equivalenza e in caso affermativo trovare le classi di equivalenza.