Ricordiamo che l’esame di Algebra 4 sarà giovedì 20 giugno alle 9:30: un breve scritto con un po’ di esercizi e orali subito a seguire.
Categoria: didattica algebra 4 2012-2013
Esercizi per Algebra 4
I seguenti esercizi sono da consegnare alla lezione di venerdì 17 maggio.
- Sia k campo e consideriamo il modulo libero
con base
e
. Dimostrare che nel modulo
l’elemento
non è un tensore elementare, cioè non si scrive come
.
- Sia M modulo (EDIT: su un dominio) e S sistema moltiplicativamente chiuso, e
il sottomoulo di torsione. Dimostrare che
e concludere che M è senza torsione se e solo se le localizzazioni su primi (o massimali) lo sono.
- Dimostrare che
è la localizzazione di
in
che è anche isomorfo all’anello che si ottiene invertendo formalmente 2, cioè
.
Per quali d l’anello Z[√d] è UFD, PID, ED?
Per quali interi l’anello
è UFD, PID, ED (dominio euclideo)?
Per negativo, la situazione è chiara: se
senza quadrati non sono UFD (e quindi neanche PID e ED). Se
contiene un quadrato è un sottoanello proprio di uno degli altri, e quindi non può essere UFD perché non è integralmente chiuso. L’anello
sono gli interi di Eulero che sono un ED e si può dimostrare che anche
è un ED, usando la norma indotta dai complessi
(per esempio qui).
La situazione per è molto più complicata. Un buon riferimento è qui. Il problema principale è che alcuni di questi anelli potrebbero essere ED per una norma diversa da
, il che succede per esempio quando
.
Sorge spontanea la domanda corrispondente per gli anelli degli interi di , che per
mod 4, sempre privo di quadrati, sono esattamente gli anelli di sopra, ma per
mod 4 sono gli anelli
. Ora anche per qualche d negativo questi nuovi anelli sono PID (vedi qui e in questi casi UFD implica PID) e anche ED (vedi qui e nei casi negativi si può dimostrare che ED implica norm-ED mentre per i positivi non è detto e infatti 14 non compare).
Da sopra, si vede come sia un PID ma non ED, e ci sono varie dimostrazioni elementari, vedi qui o qui.
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Ho appena aggiunto la pagina del prossimo corso di Algebra 4.