Categoria: didattica algebra 4 2014-2015

Definition of localization for rings. First properties. The localization at a prime ideal is a local ring. Definition of saturated multiplicative set, the localization is isomorphic, its complement is a union of prime ideals.

Tensor product of free modules is free.

Ogni spazio vettoriale ammette una base, quindi è libero.

Example of non-elementary tensor.

Definizione di estensione e contrazione di scalari.

Nakayama’s Lemma in various forms.

If A is a local ring, and M and N are finitely generated modules, then implies that or .

Prime proprietà del prodotto tensore: “commutatività”, “associatività”. Anche è isomorfismo,  è isomorfismo. è isomorfo a dove d è l’MCD. Se M è gruppo abeliano finito, allora , .

 

Definizione di torsione di un modulo. Annullatore di un modulo e di un elemento. Libero implica libero da torsione.

Su PID, un modulo finitamente generato e privo di torsione è libero.

Un modulo finitamente generato su PID si spezza come somma diretta del sottomodulo di torsione e di un modulo libero.

Definizione di prodotto tensore e proprietà universale.

Moduli liberi, differenze con gli spazi vettoriali, i razionali non sono liberi né finitamente generati.

Se una sequenza esatta corta finisce in un libero allora spezza.

Un anello è PID se e solo se ogni sottomodulo di un modulo libero è libero, senza restrizione ai sottomoduli finitamente generati.