Questa è la pagina del corso del secondo semestre Algebra 4 (6 crediti) dell’anno accademico 2014-2015.
Raccoglieremo qui le informazioni riguardanti il corso.
Programma
Ecco il programma del corso:
- Strutture algebriche e relazionali. Esempi di soluzioni universali: rendere un anello unitario, abelianizzare un gruppo, campo dei quoziente, anello dei polinomi, anello caratteristico.
- Anelli, moduli e loro proprietà.
- Categorie e Funtori. Monoidi e preordini come categorie. Assegnare il centro di un gruppo non e’ Isomorfismi tra categorie. Algebre di Boole e anelli booleani.
- Trasformazioni e isomorfismi naturali tra funtori. Esempi: doppio duale, determinante. Equivalenze tra categorie. Funtori pieni e fedeli. Aggiunzioni. Unita’ e counita’ di un’aggiunzione. Moduli liberi.
- Funtori rappresentabili. Lemma di Yoneda. Conseguenze di Yoneda: immersione di Yoneda, unicita’ a meno di iso dei rappresentanti di funtori rappresentabili. Rappresentazione come esistenza di un elemento universale.
- Limiti e colimiti. Prodotti e Coprodotti. Relazione con particolari funtori rappresentabili. Aggiunti destri (sinistri) preservano limiti (colimiti). Biprodotti. Equalizzatori, nuclei, pullback e concetti duali.
- Sequenze esatte (corte) di A-moduli. Lemma dei 5. Sequenze esatte spezzanti: condizioni equivalenti.
- Prodotto tensore tra moduli, sua proprietà universale come rappresentante del funtore della mappe bilineari, isomorfismi canonici per la commutatività, associatività, identità. Aggiunzione tra Hom(E,-) e prodotto tensore per E.
- Proprieta’ di esattezza di Hom(E,-) sulle sequenze esatte corte. Pullback e pushout di sequenze esatte corte.
- Moduli proiettivi: condizioni equivalenti. Relazione tra proiettivi e liberi. Somme dirette di proiettivi. Caratterizzazione PID come anelli i cui moduli liberi hanno sottomoduli liberi.
- Moduli di torsione e liberi da torsione. Nei PID liberi=liberi da torsione.
- Moduli divisibili. Moduli iniettivi. Criterio di Baer. In PID iniettivi=divisibili.
- Definizione di Ext(E,L). Struttura abeliana di Ext(E,L) con la somma di Baer. Sequenze spezzanti come elemento neutro. Opposto.
- Ext(E,-) come funtore additivo covariante e Ext(-,L) come funtore additivo controvariante.
- Successioni esatte lunghe Hom-Ext. Calcolo di Ext(Z_n,G).
- Proprieta’ esattezza tensore. Moduli piatti. Somme dirette di piatti sono piatte. Proiettivi sono piatti.
- Limiti diretti di A-moduli: definizione e costruzione.
- Limiti diretti di piatti sono piatti. Campi di frazioni di domini sono piatti. Cenno funtore Tor.
- Catene ascendenti e discendenti. Moduli e anelli noetheriani e artiniani.
- Modulo noetheriano se e solo se ogni sottomodulo e’ f.g. .
- Quozienti, sottomoduli, somme finite di noeth (art) sono noeth (art). Moduli f.g. su A noeth (art) sono noeth (art).
- Caratterizzazione spazi vettoriali noeth (art).
- Teorema della base di Hilbert.
- Nilradicale e radicale di Jacobson. Ideali primari e irriducibili. Relazione nel caso noetheriano.
- Decomposizione primaria nel caso noetheriano.
- Teorema di Cayley-Hamilton, anelli locali. Lemma di Nakayama, il tensore su moduli su anello locale è conservativo. Localizzazione e sua esattezza. Proprietà locali.
- Moduli proiettivi su anello locale, esempi di proiettivi non liberi.
- Anelli che se localizzati su ogni primo diventano noetheriani, non sono necessariamente noetheriani. Locali booleani.
- Proprieta’ radicali e nilradicali in noetheriani. Un anello artiniano ha un numero finito di ideali, che sono tutti max.
- Dimensione di Krull di un anello. Artiniani hanno dim 0.
- Relazione tra moduli finitamente presentati e moduli finitamente generati. Caso Notheriano.
- Lemma di Shanuel.
- Spec(A), Estensione e contrazione di ideali (primi, massimali) lungo omomorfismi di anelli.
- Estensione e contrazione di scalari sul prodotto tensore.
- Noetherianità dell’anello delle serie formali in una variabile. Limiti inversi di A-moduli.
- Algebre su un anello commutativo, casi non associativo, associativo e commutativo.
- Sottoalgebre, ideali, quozienti e omomorfismi di algebre. Algebre libere associative e commutative.
- Anelli e sottoanelli graduati. Moduli, sottomoduli e quozienti graduati. Caso graduato noetheriano.
- Algebra graduate. Morfismi omogenei. Componenti graduate dell’algebra tensoriale.
- Algebra tensoriale, esterna e simmetrica: definizioni e proprietà universali. Calcolo per un modulo ciclico. Prodotto esterno di moduli liberi finitamente generati. Determinante. Dipendenza lineare e prodotto esterno.
Lezioni
Gli orari delle lezioni sono:
- mercoledì 12:30-15:30 Aula 9 (teoria)
- giovedì 13:30-15:30 Aula 8 (esercitazioni)
Esami
Ecco alcuni degli esami passati
Riferimenti
Il libro che seguiremo di più (ma non esclusivamente) sarà “Introduction to Commutative Algebra” di Atiyah e Macdonald di cui ci sono poche copie in giro, ma esistono versioni e-book su Google e Amazon. Esiste anche una versione in italiano (con capitoli aggiuntivi) che però è forse ancora più difficile da reperire, visto che non si trova né su Google né Amazon.
Un altro libro che si può consultare è “Algebraic Geometry and Commutative Algebra” di Bosch edito dalla Springer. Per chi ha intenzione di seguire anche Algebra Commutativa sarà utile anche per quel corso.
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