Algebra 1 – 13/1/2015

Un primo z di Z[i] è un elemento di norma prima o è un primo dispari di Z della forma 4n+3.

Sia A anello commutativo unitario e I ideale di A. Sia J l’ideale di A[x] fatto dai polinomi con tutti i coefficienti in I. Dimostrare che (A/I)[x]\cong A[x]/J. In particolare\mathbb{Z}[x]/(a) \cong\mathbb{Z}_a [x]. Dimostrare che se f è un polinomio allora \mathbb{Z}[x]/(a,f) \cong\mathbb{Z}_a [x]/(f)

Algebra 1 – 11/12/2014

Esercizi su anelli di polinomi.

Se A è un dominio, U(A[x])=U(A) e ZD(A[x]) è vuoto.

Condizione necessaria affinché un numero razionale sia radice di un polinomio a coefficienti interi.

Consideriamo il polinomio f(x)=x^3+ax^2+1 in Q[x] dove a è un intero. Dire per quali a è irriducibile e trovare una decomposizione in irriducibili negli altri casi.

Consideriamo il polinomio f(x)=x^4+ax^3+1 in Z_2[x] dove a è in Z_2. Dire per quali a è irriducibile e trovare una decomposizione in irriducibili negli altri casi.