Nel paragrafo 10 di Mach, pag. 266, viene sfiorato un tema a mio parere fondamentale nella matematica e computer science (CS).
Citando Priesley (1772), Mach fa riferimento alla soluzione di una equazione polinomiale di 4° grado, attraverso il metodo della regula falsi. La soluzione viene cercata per approssimazioni successive senza giungere mai al risultato certo ma avvicinandosi progressivamente ad esso.
Lo stesso Newton introdusse un processo analogo che rappresenta tutt’oggi la strategia di base per risolvere equazioni e sistemi non lineari, denominata “linearizzazione”. Nel metodo introdotto da Newton, la funzione non lineare f(x) è localmente approssimata dalla funzione lineare “più vicina”, ottenuta mediante il troncamento al primo ordine della serie di Taylor di f(x). La soluzione dell’equazione linearizzata viene quindi considerata come approssimazione di una radice, e il procedimento di linearizzazione viene iterato.
Nei campi in cui sono disponibili dati (ma non le loro relazioni matematiche) la statistica propone specifiche metodologie. La regressione OLS, tra le altre, consente di tracciare curve attraverso punti plottati sul piano cartesiano minimizzando i quadrati degli errori.
Nella CS si dimostra che espressioni in input nella forma di stringhe esponenziali (del tipo a=b alla x) non sono né saranno mai risolvibili da un computer: il computer risolve solo input nella forma di stringhe polinomiali (e non tutte). Tali problemi non sono infatti risolvibili da una macchina di Touring.
Lo spunto di Mach in altri termini è utile ad accentuale la consapevolezza che anche con i metodi più evoluti non potremmo risolvere alcuni problemi se non per approssimazione, per avvicinamento progressivo, o addirittura mai come nel caso delle stringhe esponenziali.
In molti casi, il sapere reale accertato in modo definitivo, resterà sempre un obiettivo distante un epsilon piccolo a piacere.
